Составление логических схем. Основы логики: построение логических схем

4) Ответ: l v 0 & l = 1.

Пример 2

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению

F = X & Y v (Y v X).

Вычислить значения выражения для X = 1, Y = 0.

1) Переменных две: X и Y;

2) Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции: 14 3 2 X & Y v (Y v X).

3) Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

3) Вычислим значение выражения: F = l & 0 v (0 v 1) = 0

Выполните упражнение

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выраже­нию, и найдите значение логического выражения:

A) F = A v B & C, если А = 1, В=1, С=1.

Б) F = (A v B & C), если А=0, В=1, С=1.

B) F = A v B & C, если А=1, В=0, С=1.

Г) F = (А v В) & (С v В),еслиА=0, В=1, С=0.

Д) F = (А & В & С), если А=0, В=0, С=1.

Е) F = (A & B & C) v (B & C vA), если А=1, В=1,С=0.

Ж) F = B &A v B & A, если А=0, В=0.

Законы логики

Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эк­вивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки от­рицания находятся только при логических переменных.

Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.

	А= А	Закон тождества
	А&А=0	Закон противоре­чия
	Av A = l	Закон исключающего третьего
	А = А	Закон двойного отри­цания
	A&0 = 0 A v 0 = A	Законы исключения констант
	А&1=А A v 1 = 1	Законы исключения констант
	А&А=А A v A=A	Правило идемпотен­тности
	AvA = l
	(А→В)=А&В
	A→B = A v B
	А& (Av В)= А	Закон поглощения
	A v (А & В) = A	Закон поглощения
	А& (Av В) = А & В
	AvA&B = A v B
	(AvB) vC =Av(BvC) (A&B)&C = A&(B&C)	Правило ассоциатив­ности
	(A&B) v(A&C) = A&(BvC) (AvB)&(AvC) = Av(B&C)	Правило дистрибутив­ности
	AvB = BvA A&B = B&A	Правило коммутатив­ности
	AóB = A&Bv(A&B)
	(AvB)= A & B	Законы Моргана
	(A&B)=Av B	Законы Моргана

Пример

Упростите логическое выражение F = ((A v В) → (В v С)) . Это логическое выражение необходимо привести к нормальной форме, т.к. в нем присутствует импликация и отрицание логической операции.

1. Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (8). Получится: ((AvB)→(BvC))= (AvB)&(BvC).

2. Применим закон двойного отрицания (4). Получим: (AvB)&(BvC)= (AvB)&(BvC)

3. Применим правило дистрибутивности (15). Получим:

(AvB)&(BvC)= (AvB)&Bv(AvB)&C.

4. Применим закон коммутативности (17) и дистрибутивности (15). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.

5. Применим (16) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C=A&BvBvA&CvВ&С

6. Применим (15), т.е вынесем за скобки В. Получим:

A&BvBv A&Cv B&C=B&(Av1)v A&Cv В&С

7. Применим (6). Получим: В &(Avl)v A&Cv В &С= Bv A&Cv В &С.

8. Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:
BvA&CvB&C = B&(1vC)vA&C.

9. Применим (6) и получим ответ:

Ответ: F = ((A v В) → (В v С)) = В v A & С.

Упростите выражение:

1) F = (A & B) v(B v C).

2) F = (A→B) v (B→A).

3) F = A & C vA & C.

4) F = A vB vC v A v B v C.

5) F = (X & Y v(X & Y)).

6) F= X &(Y v X).

7) F = (X v Z) & (X vZ) & (Y v Z).

10) F= B&C& (AvA).

11) F= A&B&CvAvB

12) F= (AvB)&(BvA)& (CvB)

Упростите выражение:

1. F = A & C vA & C.

2. F= A ↔ B v A&C

3. F=A& (B↔C)

4. F = (X v Y) & (Y ↔ X).

5. F= A vB vC v A v B v C.

6. F=(AvB) → (AvC)

7. F= А ↔ (В v C)

8. F = A & B → C & D.

9. F= (X & Y v(X & Y)).

10. F = (X v Y) & (Y v X).

11. F= A ↔ B &C

12. F = (A v B) & (B v A→ B).

13. F= X &(Y v X).

14. F= A → B v A&C

15. F = X & Y v X.

16. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z v Y).

17. F= (X v Z) & (X vZ) & (Y v Z).

18. F= А →(В v C)

19. F= A ↔ B v C

20. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z → Y).

21. F= (B & (A→C))

22. F= A → B v A&C

23. F= А ↔ (В v C)

24. F = ((X v Y) & (Z v X)) & (Z v Y).

25. F= (A→B) v (B→A).

26. F = A & B & C & D.

27. F= А ↔(В v C)

28. F=A& (B→C).

29. F= A&(AvB)

30. F= А ↔ (В v C)

31. F= A → B v A &C

32. F = (A v B) & (B v A v B).

33. F= B&C& (AvA).

34. F= A & B v A&C

35. F = X & Y ↔ X.

36. F = ((X v Y) & (Z → X)) & (Z ↔ Y).

37. F= A&B&CvAvB

38. F = (X → Y) & (Y v X).

39. F= A → B &C

40. F = (A ↔ B) & (B v A &B).

41. F = (AvB)&(BvA)& (CvB).

42. F= A & B v A&C

43. F=A& (BvC)

44. F = (X → Y) & (Y ↔ X).

45. F= Av(A&B)

46. F = A & B ↔ C & D.

47. F= А ↔(В v C)

48. F=(X & Y) v (Y & X).

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции:

Рис 6.1 - Схематическое изображение логических операций

Пример. Для вычисления логического выражения: 1 или 0 и 1 нарисовать схему, от­ра­жающую последовательность выполнения логических операций. По схеме вычислить зна­чение логического выражения.

Здесь наглядно отражено то, что первой выполняется операцияи , затемили . Теперь в порядке слева – направо припишем к выходящим стрелкам результаты операций:

В результате получилась1 , т.е. «ИСТИНА».

Пример. Дано выражение:не (1 и (0 или 1) и 1).

Вычислить значение выражения с помощью логической схемы.

Решение. Логическая схема с результатами вычислений выглядит так:

Импликация и эквивалентность

Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют союзы если..., то; когда..., тогда; коль скоро..., то и т. п.

Выражение, начинающееся после союзовесли, когда, коль скоро, называется основанием условного высказывания.

Выражение, стоящее после словто, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «→». Импликация - двухместная операция; записывается так: А→В .

Эквивалентность. Языковой аналог - союзы если и только если; тогда и только тогда, когда... Эквивалентность обозначаетсязнаком «≡» или «↔».

Порядоквсех пяти логических операций по убыванию старшинства следующий: отрица­ние, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Преобразование логических выражений

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Основные формулы преобразования логических выражений:

2. (А & В) ≡ А В.

3. (А В) ≡ А & В.

4. (А → В) ≡А & В.

5. А→B ≡ A B.

6. А ↔ В ≡ (А & В) (А & В) ≡ (А В) & (А B).

7. А & (А B) ≡ А.

8. А А & В ≡ А.

9. А & (А В) ≡ А & В.

10. A А & В ≡ А В.

11. Законы коммутативности:

А & В ≡ В & А;

А В ≡ В А.

12. Законы ассоциативности:

(A B) С ≡ А (В С);

(А & В) & С ≡ А & (В & С).

13. Законы идемпотентности:

А А ≡ А;

14. Законы дистрибутивности:

А & (В С) ≡ (А & В) (А & С);

А (В & С) ≡ (А В) & (А С).

15. А 1 ≡ 1;

16. А & 1 ≡ А;

17. А А ≡ 1;

18. А & 0 ≡ 0;

19. А & А ≡ 0.

6.3. Задание на лабораторную работу

Задания распределяются в зависимости от выданного преподавателем mn -кода. Если m - число нечетное, то ваш вариант 1, если четное - вариант 2.

Задание 1. Используя логические операции, запишите высказывания, которые являются истинными при выполнении следующих условий:

Вариант 1.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z положительно;

2) только одно из чисел X, Y, Z не является положительным.

3) только одно из чисел X, Y, Z больше 10

4) ни одно из чисел X, Y, Z не равно 104

Вариант 2.

1) хотя бы одно из чисел X, Y, Z отрицательно;

2) только одно из чисел X, Y, Z является отрицательным.

3) только одно из чисел X, Y, Z не больше 10

4) каждое из чисел X, Y, Z равно 0

Задание 2. Определите значение логического выражения не (X>Z) ине (X=Y), если:

Вариант 1.

1) X=3, Y=5, Z=2;

2) X=5, Y=0, Z=–8.

Вариант 2.

1) X=9, Y=–9, Z=9;

2) X=0, Y=1, Z=19.

Задание 3. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: а = истина , b= ложь , c = истина . Нарисуйте логические схемы для следующих логических выражений и вычислите их значения:

Вариант 1.

1) а и b;

2) не а или b;

3) а или b и с;

4) (а или b) и (c или b).

Вариант 2.

1) а или b;

2) а и b или с;

3) не а или b и с;

4) не (а и b и с).

Задание 4. Построить логические схемы по логическому выражению:

Вариант 1. x 1 и (не x 2 или x 3).

Вариант 2. x 1 и x 2 или не x 1 и x 3 .

Задание 5. Выполните вычисления по логическим схемам. Запишите соответствующие логические выражения:

Вариант 1. Вариант 2.

Задание 6. Дана логическая схема. Построить логическое выражение, соответствующее этой схеме.

Вычислить значение выражения для:

Вариант 1.

1) x 1 =0, x 2 =1;

2) x 1 =1, x 2 =1.

Вариант 2.

1) x 1 =1, x 2 =0;

2) x 1 =0, x 2 =0.

Задание 7. Дана логическая схема. Построить таблицу истинности для данной схемы.

Задание 8. Определить истинность формулы:

Вариант 1. ((a ) .

Вариант 2. .

Задание 9. Упростите выражение:

Вариант 1. .

Вариант 2. .

6.4. Требования к содержанию отчета

1. Цель лабораторной работы.

2. Задание на лабораторную работу. Mn – код.

3. Результаты решения заданий своего варианта.

4. Выводы по полученным результатам.

6.5. Контрольные вопросы

1. Что такое логическое высказывание, константа, переменная, формула?

2. Какие виды логических операций рассматриваются в лабораторной работе?

3. Таблицы истинности для импликации и эквивалентности?

4. Перечислите законы алгебры логики?

Лабораторная работа №7
"СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ"

7.1. Цель работы

Изучение систем счисления. Приобретение навыков перевода из одной системы счи­с­ления в другую

7.2. Методические указания

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

A q =±(a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q -1 + a -2 q -2 + …+ а -m q -m).

Здесь А q - само число, q - основание системы счисления, а i - цифры данной системы счи­сления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части чис­ла.

Пример. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Пример. Получить развернутую форму чисел 112 3 , 101101 2 , 15FC 16 , 101,11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 = 1*10 3 + 5 *10 2 + F*10 1 + С.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то по­лу­чится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится пе­ревод из недесятичной системы в десятичную.

Пример. Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 = 1*16 3 + 5*16 2 + 15*16 1 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10 .

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения: Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .

Правила ввода логической функции

1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

• словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
• описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
• описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
  а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
  1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
  2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
  3) полученное произведение логически суммируется.
  Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
  ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
  б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
  КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
  1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
  2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
  3) логически перемножаются полученные суммы.
  Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устройства , используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

A	не А
0	1
1	0

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.

Операция И - логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

• Действия в скобках
• Инверсия
• Конъюнкция (&)
• Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
• Импликация (→)
• Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все логические слагаемые формулы различны.
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Все элементарные дизъюнкции различны.
3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

Логической функции в компьютере соответствует некоторая схема из вентилей. Этот принцип даёт такой подход к созданию компьютера :

Формируем логическую функцию, описывающую преобразование исходных двоичных кодов в нужный результат.

Полученную функцию упрощают, используя законы алгебры логики.

Окончательно полученную функцию записываем в виде схемы из вентилей.

Схема из вентилей реализуется на физическом уровне из электронных элементов.

Приведём пример реализации 3-го этапа . Дана функция

Получить логическую схему функции.

Формирование логической схемы следует начинать с учётом приоритета операций (смотри п. «Определение логической (булевой) функции»), а также круглых скобок, изменяющих порядок выполнения операций. Как известно, самый высокий приоритет имеют операции внутри скобок (если они есть), затем операция инверсии (отрицания). Следовательно, для заданной функции сначала нужно сформировать элементы
и, а затем элемент
. Далее можно выполнить сложение полученных элементов (
и
) и, в последнюю очередь, к полученной сумме добавить переменнуюa . В итоге мы получим следующую схему (рис. 5):

Рис. 5. Схема реализации функции (формула (28))

Возможно решение и обратной задачи, когда дана логическая схема, нужно получить логическую функцию. Например, на рис. 6 дана логическая схема. Требуется написать для неё логическую функцию.

Рис. 6. Схема реализации функции f ( x , y , z )

Двигаясь от входных переменных записываем последовательно для каждого вентиля его логическую операцию над его входными переменными по направлению стрелок. Тогда на выходе схемы получаем результат – функцию. При записи операций необходимо помнить, что операции выполняемые ранее имеют более высокий приоритет, который определяется или самой операцией или указывается скобками.

Так для схемы на рисунке 6 в первую очередь выполняться три операции: x∙y, и. Затем операция инвертирования суммы:
, далее ещё одна операция логического сложения результатов предыдущих операций:
. Последней будет выполняться операция инвертирования результата логического умножения:
. Таким образом, искомая функция имеет вид.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнить арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Алгоритм построения логических схем :

1) Определить число логических переменных.

2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.

3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Пример 10 Составить логическую схему для логического выражения: F =¬ X v Y & X . 1) Две переменные – X и Y . 2) Две логические операции: 1 3 2 ¬ X v Y & X . 3) Строим схему, соединяя вентили в порядке выполнения логических операций: Пример 11 Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X & Y v¬ (Y v X ). Вычислить значения выражения для X =1, Y =0. 1) Переменных две: X и Y . 2) Логических операций четыре: конъюнкция, две дизъюнкции и отрицание. Определяем порядок выполнения операций: 1 4 3 2 X & Y v ¬ (Y v X ). 3) Схему строим слева направо в соответствии с порядком выполнения логических операций: 4) Вычислим значение выражения: F =1&0 v¬ (0 v 1)=0.

Упражнение 15

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению, и найдите значение логического выражения:

1) F=A v B& ¬ C, если A=1, B=1, C=1 .

2) F = ¬ (A v B&C), если A=0, B=1, C=1 .